Simetría: Una de las herramientas más poderosas de la física

A la hora de atacar un problema físico existen muchos enfoques distintos para hallar la solución. Por ejemplo, podemos imaginarnos un escenario simplificado que se parezca a la situación que queremos entender. Después de resolver el escenario simplificado y haberle sacado todo el jugo posible podemos complicarlo un poco, añadiendo características nuevas que se parezcan al original. Así, finalmente acabaremos solucionando el problema y podremos aprender qué propiedades del escenario realista tienen en realidad su origen en características simples. Además, una de las herramientas más poderosas de las que disponemos los físicos para contestar las preguntas que se nos plantean es la simetría.

¿Qué es una simetría? Matemáticamente hablando definimos una simetría como una transformación en un sistema que mantiene invariantes ciertas propiedades. Estas transformaciones pueden ser algo tan simple como rotar un objeto, pero, como veremos más adelante, también pueden ser completamente abstractas y difíciles de imaginar.

¿Y para qué es útil encontrar las simetrías del sistema? Veamos un ejemplo sencillo. Supongamos que queremos calcular la intensidad del campo gravitatorio que produce un objeto planetario cualquiera. Supongamos que dicho planeta es perfectamente esférico.¹ Si intentamos atacar el problema a lo bruto puede parecer un problema muy complicado: Queremos hallar un número – la intensidad del campo gravitatorio- para cada punto del espacio. Por lo tanto, la función dependerá de tres parámetros: la distancia al centro de la esfera y dos ángulos respecto a los ejes.

Sin embargo, antes de empezar a calcular intentemos pensar en las simetrías del sistema. ¿Qué le ocurre a una esfera perfecta cuando la rotas? Absolutamente nada, ya que la ves de la misma manera desde cualquier ángulo. Por tanto, decimos que este sistema tiene invariancia rotacional. Y si la esfera es la misma tras rotarla… ¿por qué va a depender el campo gravitatorio del punto desde el que lo mires? Al rotar la esfera, el campo gravitatorio debería rotar con ella, pero si la esfera se mantiene igual, el campo gravitatorio también. ¡Por tanto el campo gravitatorio solo puede depender de la distancia al centro de la esfera y no de cualquier ángulo respecto a ella! Este nuevo conocimiento simplifica mucho los cálculos.

Emmy Noether, la matemática que cambió la física

Más allá de simplificar los cálculos las simetrías pueden servir para mucho más. Antes de continuar, es imposible no mencionar a Emmy Noether. Ella era matemática – no física- y su carrera académica tuvo muchos obstáculos. Impartió clase en la universidad sin cobrar un salario ya que no se permitía contratar a mujeres y muchas veces sus clases iban anunciadas con el nombre de su colega y famoso matemático David Hilbert, que intentó durante mucho tiempo que fuera contratada. Finalmente, tras la primera guerra mundial, obtuvo su plaza en la universidad de Gotinga. Además de importantes avances en distintas ramas de la matemática, hoy estamos hablando de ella porque el teorema que lleva su nombre es absolutamente fundamental para entender la física moderna.

Antes de hablar del teorema de Noether, veamos primero lo que es una cantidad conservada. En los libros de física de bachillerato se nos dice que, bajo ciertas condiciones, la energía mecánica se conserva. En ausencia de otras fuerzas, la energía mecánica es la suma de la energía cinética – que depende de la velocidad del objeto – y la energía potencial – que depende de la altura del objeto. Esto quiere decir que, aunque las cantidades individuales de las energías cinética y potencial varíen, la suma se mantendrá constante. Si lanzamos un objeto hacia arriba este empieza con una cierta velocidad y altura 0. Al subir se irá frenando, pero ganando altura: pierde energía cinética, pero gana energía potencial. Cuando alcanza el máximo de su trayectoria se para y empieza a caer, invirtiendo el proceso. Pero la suma de energía potencial y cinética se mantiene constante en todo momento: la energía mecánica es una cantidad conservada.

Existen otras cantidades conservadas muy bien estudiadas, por ejemplo, el momento lineal, que se conserva en las colisiones entre objetos. Describir una colisión entre dos bolas de billar es un proceso complicado, pero no necesitamos saber que le ocurre exactamente a la bola cuando colisiona ya que sabemos que el momento lineal justo antes de la colisión es idéntico al momento lineal después de la colisión, lo que nos permite calcular las direcciones de salida de las bolas de billar sin meternos realmente en lo que ocurre durante la colisión. También se conservan el momento angular, la carga eléctrica, la masa (solamente si no consideramos la mecánica cuántica relativista) …

Sin embargo, ¿Por qué se conservan todas estas cantidades? ¡La respuesta es la simetría! El teorema de Noether nos dice que, si nuestro sistema físico tiene una simetría, una transformación (abstracta) que lo mantiene invariante, entonces existe una cantidad conservada asociada a esta transformación. Las leyes de la física son las mismas hoy que ayer y que mañana, por lo tanto, tienen una simetría bajo traslación temporal. Esto, aplicando correctamente el teorema de Noether, nos lleva a deducir que la energía se conserva. Análogamente, la física también es invariante bajo traslación espacial, es decir, que las leyes de la física son iguales aquí que en cualquier otro punto del universo. Esto nos lleva a deducir la conservación del momento lineal.

El teorema es tan potente y general que aplica igualmente a marcos teóricos muy diferentes, desde la mecánica clásica hasta la relatividad y también la mecánica cuántica, hasta llegar a la teoría cuántica de campos, que es el marco teórico usado para desarrollar los modelos más sofisticados de la historia de la ciencia humana. La teoría cuántica de campos describe el mundo de las partículas subatómicas combinando la relatividad especial con la mecánica cuántica y las predicciones teóricas de los modelos construidos con esta teoría han llegado a alcanzar una precisión de 12 cifras decimales.

Es aquí donde las simetrías juegan un papel más importante, ya que nos permiten describir las interacciones entre partículas a nivel cuántico. Un ejemplo de estas interacciones es el electromagnetismo. Imponiendo que los electrones cumplan una cierta regla de transformación – que los físicos llamamos invariancia gauge U(1), una transformación abstracta de los campos (para entendernos, las partículas) – podemos demostrar matemáticamente una serie de cosas. La primera es que la carga eléctrica se ha de conservar. Aunque esto era conocido desde 1750, hasta la aplicación del teorema de Noether en este contexto no teníamos un argumento teórico sólido de por qué debería hacerlo. La segunda es la existencia de un campo sin masa llamada fotón. En el límite clásico, es decir, macroscópicamente, se puede demostrar que el campo del fotón no es más que el campo electromagnético clásico, pero también predice un comportamiento de partícula bajo ciertas condiciones. Por último, también podemos extraer y cuantificar la interacción entre partículas eléctricamente cargadas, que, de nuevo, en el límite clásico reproducen el electromagnetismo de toda la vida. ¡Todo un éxito! Utilizando técnicas parecidas es posible describir interacciones cuánticas mucho más complicadas (la interacción fuerte y la interacción débil, que son puramente cuánticas y no tienen analogía clásica) y todo utilizando simetrías abstractas como punto de partida.

Notas al pie:

1. Claramente, planetas como la Tierra no son completamente esféricos ya que hay montañas, una pequeña deformación de su forma en los polos etc. Pero si primero suponemos que es una esfera luego podemos calcular el efecto en el campo de las desviaciones de la forma esférica.[↩]